martes, 4 de septiembre de 2012

MATRIZ DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD DE UNA ESTRUCTURA


DEFINICIÓN DE FUERZA AXIAL.

Cuando suponemos las fuerzas internas uniformemente distribuidas, se sigue de la estática elemental que la resultante P de las fuerzas internas debe estar aplicadas en el centroide de C de la sección. Esto significa que una distribución uniforme de esfuerzos es posible únicamente si la línea de acción de las cargas concentradas P y P´ pasa por el centroide de la sección considerad. Este tipo de carga se conoce como carga axial centrada y supondremos que se produce en todos los elementos sujetos a dos fuerzas que encontramos en cerchas y en estructuras conectadas por articulaciones.

DEFINICION DE ESFURZOS CORTANTES.

Debe existir fuerzas internas en el plano de la sección y que su resultante debe ser igual a P. estas fuerzas internas elementales se llaman fuerzas cortantes y la magnitud P de su resultante es el cortante en la sección. Dividiendo la fuerza cortante P por el área A de la sección obtenemos en el esfuerzo cortante promedio en la sección. Los esfuerzos cortantes se presentan normalmente en pernos, pasadores y remaches utilizados para conectar varios miembros estructurales y componentes de máquinas.

DEFINICION DE MOMENTO FLEXIONANTE.

Un diagrama de fuerzas cortantes o un diagrama de momentos flexionantes es una grafica que muestra la magnitud de la fuerza cortante o momento flexionante a lo largo de la viga.

¿CUANTOS TIPOS DE APOYO, NUDOS O SOPORTES SE PUEDEN IDENTIFICAR O CONSTRUIR UNA ESTRUCTURA?

· Vigas simplemente apoyadas: las reacciones de la viga ocurren en sus extremos.
. Vigas en voladizo: un extremo de la viga esta fijo para impedir la rotación; también se conoce como un extremo empotrado, debido a la clase de apoyo.
· Vigas con voladizo: uno o ambos extremos de la viga sobresalen de los apoyos.
· Vigas continuas: una viga estáticamente indeterminada que se extiende sobre tres o más apoyos.
Sin carga: la misma viga se considera sin peso (o al menos muy pequeño con las demás fuerzas que se apliquen).
Carga concentrada: una carga aplicada sobre un área relativamente pequeña (considerada aquí como concentrada en un punto).
· Carga uniformemente distribuida sobre una porción de la longitud de la viga.

ROBERTO AGUILAR FALCONÍ
CEINCE-ESPE

Identificación estructural.

Esta etapa consiste en definir a través de números y datos las barras de la estructura.

a) Definir un sistema de ejes globales para la estructura. Las coordenadas de los nudos se refieren a dicho sistema.


b) Conectividad de los elementos, identificando para cada barra el nudo inicial y el final. A cada barra está asociado un sistema de ejes locales al cual se refieren todas las dimensiones y características de la barra. El mismo queda definido automáticamente por el orden establecido para la numeración de los nudos de la barra.
El eje x local coincide con el eje geométrico de la barra, siendo el sentido positivo el que va del nudo inicial (nudo de menor numeración) al final (nudo de mayor numeración). Los otros ejes locales deberán coincidir con los ejes principales de Inercia de la sección transversal de la barra formando un triedro directo.

c) Propiedades de la sección transversal de cada barra. Dependiendo del tipo de estructura (articulado, pórtico plano, pórtico espacial, emparrillado) se debe dar el área de la sección transversal, los momentos de inercia en relación a los ejes principales y la inercia a la torsión.

d) Propiedades del material. Se debe indicar, para cada barra, el módulo de elasticidad longitudinal y/o el módulo de elasticidad transversal.

e) Especificación de los vínculos: se debe indicar el nombre del nudo que tiene una o más restricciones y cuales son las mismas.

f) Descripción de la carga: se da el nombre del nudo y los componentes de globales de las cargas externas y las reacciones de empotramiento perfecto en relación a los ejes locales de la barra, si hay cargas en el tramo.

Matriz de Rigidez y Vector de Cargas Nodales Equiv.

a) Barra de reticulado plano
Consideremos una barra de reticulado plano, supongamos que la misma esté arbitrariamente orientada con relación a un sistema de ejes globales X e Y.

Supondremos que la barra es recta, de sección transversal constante y que el material responde a la ley de Hooke.

Fig. nº 1-Sistema local de ejes

En la barra i de la figura el nudo inicial es el j y el final es el k , quedando definida la orientación de los ejes locales x e y.

Considerando que no existen deformaciones iniciales y que la deformación es elástica el alargamiento de la barra i estará dado por:


ΔLi = DXk^L − Dxj^L                             (1)

Donde Dxk^L y Dxj^L son los desplazamientos del nudo k y j respectivamente en la dirección local xl.
Para una barra de reticulado existe una sola solicitación posible que es el esfuerzo axil o normal.
Suponiendo un material elástico lineal sometido a esfuerzo de tracción tendremos para los nudos j y k respectivamente:


Donde:
E= Módulo de elasticidad
L= Longitud de la barra
A= Area de la sección transversal de la barra.
Como en la dirección yl para barras de reticulado no existen solicitaciones podemos expresar las ecuaciones anteriores en forma matricial:



La expresión (5) corresponde a la ecuación matricial de la barra i en coordenadas locales y expresa las Fuerzas de extremo de barra FI^L en función de los desplazamientos de nudos DI^L

A la Matriz que relaciona FI^L y DI^L se la denomina matriz de Rigidez de barra de reticulado en coordenadas locales SI^L . Expresando en forma compacta o simbólica:

FI^L = SI^L*DI^L   

La ecuación (6) define las fuerzas de extremo Fj y Fk para cualquier pareja de corrimientos Dj , Dk dados. Estas ecuaciones son simétricas, como podíamos esperar a partir del teorema de reciprocidad. No es posible, sin embargo, ”resolverlas” y obtener los desplazamientos (D) en términos de las fuerzas (F), puesto que la matriz S es singular. Esto refleja el hecho de que la pieza puede sufrir un movimiento arbitrario de conjunto, sin afectar las fuerzas que actúan en sus extremos.

Interpretación física de la Matriz de Rigidez de barra.

Si en la ecuación, hacemos nulos todos los desplazamientos excepto Dxj^L que es igual a la unidad, entonces los esfuerzos en los extremos de la barra serán los indicados en la figura
que corresponden a la primera columna de S.
De la misma forma podemos hacer Dyj^L=1 y el resto de los corrimientos nulos, siendo en este caso nulos los esfuerzos en los extremos de barra, ya que se considera una barra doblemente articulada y pequeños desplazamientos. Por esta razón los cuatro valores de la segunda columna son nulos.
Si en cambio hacemos DxK^L=1 y el resto de los desplazamientos nulos, los esfuerzos serán:


En forma análoga se puede analizar la cuarta columna aplicando un desplazamiento Dyk=1 Asociando los desplazamientos y reacciones de nudos en las direcciones indicadas en la figura, podemos deducir el significado físico de la matriz de rigidez de la barra.
Con lo cual podemos observar que los elementos Sij de la matriz de rigidez, representan las fuerzas que se generan en i al aplicar un desplazamiento unitario en j, permaneciendo fijos los estantes.

Además para un desplazamiento del nudo k obtenemos una reacción en j que es la misma que la obtenida en k para un desplazamiento en j, lo cual nos es expresado por la simetría de la matriz de rigidez.
También podemos ver que una columna j está formada por las reacciones debidas a un desplazamiento unitario impuesto en la dirección j, y una fila i no es más que las reacciones en i debido a corrimientos unitarios impuestos en las distintas direcciones.

b) Barra de Pórtico Plano

En base al significado físico de los elementos de la matriz de rigidez, deduciremos la Matriz de Rigidez para una barra de Pórtico Plano en coordenadas locales.
Para este tipo de elemento corresponden tres desplazamientos por nudo (2 traslaciones y una rotación en el plano).


La matriz de rigidez se obtiene dando desplazamientos unitarios de a uno por vez en las direcciones de la figura mientras los otros permanecen nulos.

Las reacciones mostradas en la figura nº5 constituyen las respectivas columnas de la matriz de rigidez de la barra de Pórtico Plano.


Escribiendo en forma compacta:

     FI^L= SI^L*DI^L

Esta matriz relaciona las fuerzas de extremo de barra con los desplazamientos nodales en ejes locales.

 
Fig.nº 6 - Solicitaciones para barra de Pórtico Plano

Cargas nodales equivalentes

Hasta ahora hemos supuesto que las cargas estaban aplicadas en los nudos, y por lo tanto existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de aplicación de las cargas y los desplazamientos que están siendo calculados. Si esto no ocurriera, por ejemplo tuviéramos cargas en el tramo de las barras, en forma distribuida o concentrada, debemos sustituir las cargas en las mismas por un sistema de cargas equivalentes aplicadas en los nodos que produzca en la estructura el mismo efecto que las cargas originales.
Aplicando el principio de superposición, que es válido por haber supuesto que el sistema es lineal, podemos descomponer las cargas tal como se indica en la figura:

Barra de pórtico con cargas en el tramo

Como podemos observar las cargas, reacciones y deformaciones de la estructura a) serán equivalentes a la suma de los dos estados b) y c). Como las deformaciones de nodos en b) son nulas, serán iguales las deformaciones de los casos c) y a). O sea que las cargas de c) producen la misma respuesta estructural en lo referente a desplazamientos de nudos que las cargas originales. Estas serán entonces las cargas equivalentes en los nudos, que no son más que las reacciones de empotramiento perfecto cambiadas de signo.

Los esfuerzos en los extremos de barra se obtienen por la suma de los casos (b) y (c).
F^a = F^b + F^c D^a = D^c

Por lo tanto a la ecuación,  habrá que adicionarle las fuerzas de empotramiento perfecto del caso b).

FI^L = SI^L*DI^L+AI^L

AI^L representa el vector de fuerzas de empotramiento perfecto de la barra en coordenadas locales.

Rotación de ejes en el plano

Hasta el momento expresamos la matriz de rigidez del elemento barra, tanto de reticulado plano como de pórtico plano, según un sistema de ejes locales, estando los desplazamientos y esfuerzos de extremo de barra referidos a los mismos.
No obstante, según ya lo mencionamos, antes de poder aplicar las condiciones de equilibrio en los nudos y de compatibilidad de desplazamientos es necesario transformar las fuerzas y corrimientos a un sistema de ejes globales.
  
Fig. nº 8 - Rotación de un vector

Supongamos el vector V de la figura referido al sistema de ejes X e Y. Las componentes del mismo serán:
             Vx=V.cos α Vy=V.sen α 

En el sistema de ejes xL e yL, las componentes serán
          Vx^L=V.cos(α-θ) Vy^L=V.sen(α-θ)

Luego:
           Vx^L=V.cos α.cos θ + V.sen α.sen θ
           Vy^L=V.sen α.cos θ - V.cos α.sen θ

Teniendo en cuenta la ecuación (14) y escribiendo en forma matricial:

 
o en forma compacta:
                  V^L= R.V      *

A la matriz de cosenos directores R la llamaremos matriz de rotación.

Si queremos el pasaje del sistema local al global, en este caso la matriz de rotación es la transpuesta de R

 
     V = R^T*V^L

Premultiplicando la ecuación (*) por R^−1

     V= R^-1* V^L

Lo que implica que Res una matriz ortogonal (su inversa es igual a su traspuesta):

    R^−1 = R^T

Ecuación fundamental de la barra en el sistema global

Tanto las solicitaciones como los desplazamientos pueden expresarse como vectores en el plano, podemos entonces aplicar la transformación lineal antes vista para llevar los esfuerzos y desplazamientos de extremos de barra del sistema local al global.
 
   DJ^L= R*DJ
   Dk^L= R*Dk

Donde DJ^L y DK^L representan respectivamente los desplazamientos de los nudos j y k en coordenadas locales DJ Y DK representan los mismos desplazamientos en coordenadas globales.

Escribiendo en forma compacta:

  DI^L=RT*DIL

Siendo:
            
La matriz de rotación de la barra por incluir ambos nudos de la misma.

DI^L contiene los desplazamientos de los dos nudos de la barra en coordenadas locales y Di los desplazamientos de los mismos en coordenadas globales.

Para las solicitaciones tendremos:

     FI^L=RT*FI

FI^L contiene las solicitaciones de los dos extremos de la barra en coordenadas locales y FI en coordenadas globales.

La inversa de la matriz de rotación de la barra será:





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